特征值的实部、虚部与振荡角频率对应的物理意义

1. 特征值的来源

对于线性系统，状态空间方程一般为：

x˙=Ax\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}x˙=Ax

其解为：

x(t)=c1eλ1t+c2eλ2t+⋯+cneλnt\mathbf{x}(t)=\mathbf{c}_1e^{\lambda_1t}+\mathbf{c}_2e^{\lambda_2t}+\dots+\mathbf{c}_ne^{\lambda_nt}x(t)=c1​eλ1​t+c2​eλ2​t+⋯+cn​eλn​t

其中 λi\lambda_iλi​ 是矩阵 A\mathbf{A}A 的特征值。

如果 λi=σ+jω\lambda_i=\sigma+j\omegaλi​=σ+jω 是复数，那么对应的解项为：

eλit=e(σ+jω)t=eσt⋅ejωte^{\lambda_it}=e^{(\sigma+j\omega)t}=e^{\sigma t}\cdot e^{j\omega t}eλi​t=e(σ+jω)t=eσt⋅ejωt分解后可以看到：

eσte^{\sigma t}eσt 是一个指数衰减（或增长）的部分，控制了信号的幅值变化；ejωt=cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt) 是一个复数形式的振荡项，控制了信号的振荡行为。

2. 为什么虚部是角频率 ω\omegaω

由解中的 ejωte^{j\omega t}ejωt，可以看出它描述了一个频率为 ω\omegaω 的旋转/振荡。因此：

特征值的虚部 ω\omegaω 决定了系统中信号的振荡频率；振荡的角频率 ω\omegaω 是信号随时间变化的快慢，单位为 rad/s\mathrm{rad/s}rad/s。

3. 实部 σ\sigmaσ 与虚部 ω\omegaω 的物理意义

实部 σ\sigmaσ：决定了振荡幅值的变化速度。如果 σ<0\sigma<0σ<0，振荡会逐渐衰减；如果 σ>0\sigma>0σ>0，振荡会逐渐放大。虚部 ω\omegaω：决定了振荡的频率。当 ω=0\omega=0ω=0 时表示系统只存在指数衰减或增长，没有振荡；ω≠0\omega\neq 0ω=0 时表示系统有振荡行为。

4. 特征值虚部与系统动力学的联系

在线性振荡系统（如振动、RLC电路、机械振动）中，特征值的虚部直接对应系统的振荡角频率，因为这些系统的动力学方程都可以归结为二阶微分方程：

x¨+2ζωnx˙+ωn2x=0\ddot{x}+2\zeta\omega_n\dot{x}+\omega_n^2x=0x¨+2ζωn​x˙+ωn2​x=0

其特征根为：

λ=−ζωn±jωn1−ζ2\lambda=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}λ=−ζωn​±jωn​1−ζ2​

其中：

ωn\omega_nωn​ 是系统的固有频率，它与特征值的虚部 ω=ωn1−ζ2\omega=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}ω=ωn​1−ζ2​ 一一对应；ζ\zetaζ 是系统的阻尼比，影响振荡的幅值变化速度。

总结

特征值的虚部 ω\omegaω 是振荡角频率，因为它直接决定了系统中周期振荡的快慢。通过特征值的虚部，可以分析系统的振荡特性，而通过实部，可以分析系统的稳定性。